关于 π 的一些趣闻

虽然我们已经了解“阿基米德常数”几个世纪了，但我们直到 18 世纪才开始用希腊字母 π 来表示它。Patricia Rothman 建议下面的页面可能包含了最早使用希腊字符表示这个概念的例子之一。它出自威廉·琼斯于 1706 年撰写并出版的一本数学教科书。

William Jones 1706

琼斯在不同的位置使用希腊字母来表示这个数字，并且就像他的前任一样，将其用作圆周或周长（希腊语 περιφέρεια）的代称，以及在图表中标注点，就像我们今天使用 P 和 Q 一样。琼斯还将其称为范·塞伦数，以纪念荷兰数学家鲁道夫·范·塞伦，他花了大部分时间来计算这个值。（他计算出了 35 位小数，并要求将其刻在自己的墓碑上。）

琼斯和其他数学家一样，使用了大量的符号。他的《数学掌上概要，或数学新导论》已被数字化，可以在这里查看。这是一个了不起的成就，尤其是对于他的排版员来说，它可能会让你比平时更欣赏你接下来的 LaTeX 会话。

但是，虽然琼斯是最早使用 π 符号的人之一，但他没有足够的影响力去激励更多的追随者，而是在这个世纪后期，更著名的莱昂哈德·欧拉及其对 π 符号的使用，才更多地为后代确立了这个希腊字母的主要数学意义。

Euler 1746

（原始在线版在这里。）

Julia 热情地拥抱了 Unicode 标准 enthusiastically，因此在代码中使用合适的希腊字母（以及其他 Unicode 字母）非常容易。例如，在 REPL 中，输入 \pi TAB 以插入 Unicode 字符 U+03C0

julia> π
π = 3.1415926535897...

你可以在表达式中随意使用它

@test kepler_solver.([π/4, π/6, 8π/3], 0) ≈ [π/4, π/6, 2π/3]

（尽管如果你愿意，pi 仍然可以使用）。在 Julia 0.7 版本中，π 和其他数学常数，例如欧拉数 ℯ (2.7182818284590)，位于 Base.MathConstants 模块中。

与 Julia 中的其他操作一样，你通常可以看到魔术是如何实现的

julia> Base.REPLCompletions.latex_symbols["\\pi"]
"π"

更多关于 π 的内容

我们通常使用来自 Unicode 区块的希腊语和科普特语文本字形的 U+03C0 π（科普特语是由埃及人采用的一种基于希腊语的文字，用来取代象形文字），但还有其他主要用于数学用途的 π 符号。以下 Julia 代码片段试图展示所有小写的 Unicode π 符号

morepi = [
(0x3c0,    "\\pi",           "GREEK SMALL LETTER PI")
(0x213c,   "\\bbpi",         "DOUBLE-STRUCK SMALL PI") # v0.7
(0x1d6d1,  "\\mbfpi",        "MATHEMATICAL BOLD SMALL PI")
(0x1D70B,  "\\mitpi",        "MATHEMATICAL ITALIC SMALL PI")
(0x1d745,  "\\mbfitpi",      "MATHEMATICAL BOLD ITALIC SMALL PI")
(0x1d77f,  "\\bsanspi",      "MATHEMATICAL SANS-SERIF BOLD SMALL PI") # v0.7
(0x1d7b9,   "\\mbfitsanspi", "MATHEMATICAL SANS-SERIF BOLD ITALIC SMALL PI")];

foreach(p -> println(" $(Char(p[1])) U+$(lpad(hex(p[1]), 5, "0")) $(rpad(p[2], 15)) $(p[3])"), morepi)

注释为 v0.7 的两个 Tab 补全已在 Julia 0.7 版本中添加。

你看到的输出将很大程度上取决于你的计算机、操作系统以及其他各种设置。这是一个很好的入门，让你开始探索奇妙的字体世界。例如，这是我今天（0.6.2 版）在 macOS 上使用 Terminal 应用程序在我的 Julia REPL 中执行此代码片段后看到的输出

Terminal app before

如你所见，并非所有 π 符号都已渲染。操作系统会在当前字体（我正在尝试使用 Fira Code）中查找 Unicode 字符 U+3c0、U+213c、U+1d6d1、U+1d70b、U+1d745、U+1d77f 和 U+1d7b9。对于每个找不到的字符，它会在其他激活的字体中搜索，寻找包含该代码点的符号的字体。操作系统不会检查找到的符号是否合适。

在上面的示例中，U+3c0 的希腊字母 π 已经在 Fira Code 中可用。\mitpi（U+1d70b 的数学斜体 π）最终在微软的 Segoe UI Symbol 中找到，因此该字体被用于该字符。对于 \bbpi，双线 π 或黑板 π，Code2000 字体在 U+213c 处生成一个符号，该符号被适当地使用，尽管对我来说，它看起来更像一个倒过来的单线 epsilon，而不是任何类型的 π。其他的符号在任何活动的字体中都找不到，因此它们是用一个带有方框的问号显示的。

现在，如果我激活一个字体，例如 Asana-Math、Everson Mono 或 STIX，或者其他一些具备数学功能的字体，操作系统会立即开始找到匹配项并更新显示，根据需要不断在字体之间切换以满足对 Unicode 代码点的需求

Terminal app after

安装 Asana Math 后，所有其他 π 都可以找到，现在双线小 π 看起来更像它应该代表的黑板书写字符，尽管在小字号下很难看到。我认为还有更好的设计

double-struck pi

一些乏味的实验表明，搜索在某种程度上是按字母顺序进行的，因为如果 Asana Math 不可用，操作系统会继续尝试 Code2000，然后是 Deja Vu，然后是 Everson，然后是 FreeSans，等等。这至少是我认为在当前的 macOS 上使用我的特定设置时会发生的情况。我怀疑在你那里会不同。类似（但不同）的事情也会发生在你的浏览器中。

顺便说一下，这些 π 的替代符号，例如 \mitpi，不会计算为 3.14...，因此你可以像威廉·琼斯一样将它们用作通用符号。例如，如果你处理素数，你可以使用其中一个来表示素数计数函数。或者你也可以用以下内容来让自己迷惑

julia> 𝜋 = 3
julia> 2𝜋
6

音标符号 Ⓟ

并非所有字体都包含适合的希腊字母 π，位于 U+03C0 处。一些昂贵的字体，例如 Gotham，在 U+03c0 处提供带圆圈的 P 符号，而不是 π。这是“音标”符号（或“音响录制”符号），通常位于 U+2117（位于 U+24C5 的符号也使用），它类似于版权符号 ©，但用于录音。这背后的故事是，特别是在 Unicode 标准化之前，字体公司有时会偏向实用性而不是正确性。根据 David Berlow 的说法

我们在 Font Bureau 了解用户的操作方式，因此我们在一个字形（数学 π）的插槽中放了一个带圆圈的 p，这是一个“必备”字形，用户很难即兴创建，因为即使他们需要它，它也存在于地球上每台计算机的 Symbol 字体中。

π 的设计

我们可以使用 Julia 来查找所有不同的 π 设计吗？我第一次尝试解决这个挑战使用的是 Fontconfig.jl 来生成已安装字体的列表，以及 Luxor.jl 来将它们绘制在表格中。它至少让我们看到了各种可用的设计，并说明了一些问题。提供零宽度字形的字体会被跳过，这意味着表格最终会比最初计划的要小。

using Fontconfig, Luxor

function buildfontlist()
    fonts = []
    for font in Fontconfig.list()
        families = Fontconfig.format(font, "%{family}")
        for family in split(families, ",")
            push!(fonts, family)
        end
    end
    filter!(f -> !ismatch(r".LastResort|Agenda|Topaz|Bodoni Ornaments|System",
        f), fonts)
    return sort(unique(fonts))
end

function tabulatepi()
    fonts = buildfontlist()
    ncols = 25
    nrows = convert(Int, ceil(length(fonts))) ÷ ncols
    @svg begin
        background("ivory")
        setopacity(1)
        t = Table(nrows, ncols, 30, 25)
        sethue("black")
        cellnumber = 1
        for n in 1:length(fonts)
            fontface(fonts[n])
            te = textextents("π")
            if te[3] > 0.0
                fontsize(18)
                text("π", t[cellnumber], halign=:center)
                setfont("Lucida-Sans", 3)
                settext(fonts[n], t[cellnumber] + (0, isodd(cellnumber) ? 6 : 10), halign="center")
                cellnumber += 1
            end
        end
    end 800 1200
end

tabulatepi()

你可能不需要像我一样手动删除字体列表中的奇怪东西，比如 Bodoni Ornaments 或 Topaz...

tabulating pi - PNG fallback

如果我手动选择候选字体，而不是使用这个自动生成的字体列表，效果会更好：有太多来自各种系统和语言特定字体的“默认”设计，它们只是用一个基本设计填充了插槽，而不是根据字体的主题来解释形状。而且 fontconfig 生成的字体列表并没有查看所有字体库，因此它是一个不完整的列表。

以下是一些更有趣的设计：圆润的 Cooper Black 和 Tiffany Heavy，极简的 Verdana 和 Tahoma（看起来几乎像 “n” 字？），古怪的 Gill “Kayo” Sans，以及愚蠢的 Chalkduster。

piversity

我喜欢 Dalliance 的小号版本；它很好地体现了老派风格，这里的“老派”指的是基于 1799 年的原始设计，这距离欧拉去世不久。

平均 π

我想知道“π 的平均值是多少？”，或者“如果所有 π 同时显示，它会是什么样子？”。使用与之前相同的字体列表生成方式，我运行了以下代码

function textstroke(s, pos, action)
    @layer begin
        translate(pos)
        te = textextents(s)
        move(-te[3]/2, te[4]/2)
        textpath(s)
        tp = pathtopoly()
        poly.(tp, action, close=true)
    end
end

function accumulatepi()
    fonts = buildfontlist()
    @png begin
        background("midnightblue")
        sethue("lightgoldenrod2")
        setline(0.2)
        fontsize(560)
        setopacity(0.3)
        for n in 1:length(fonts)
            fontface(fonts[n])
            te = textextents("π")
            if te[3] > 0.0
                textstroke("π", O, :stroke)
            end
        end
    end
end
accumulatepi()

accumulating pi

对于一个基于许多其他字体的平均形状的完整字体，请查看 Averia.

我还没有找到一种方法来列出所有包含完整 Unicode π 符号集的字体。理论上我认为我可以使用 Freetype.jl 检查字体，看看它是否包含特定字符字形的代码点。也许我会在 2019 年 3 月 14 日报告任何进展……

2018 年 3 月 14 日 | Cormullion

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音标符号 Ⓟ

π 的设计

平均 π